Het extended Goodwin model van Steve Keen is een verdere uitwerking van het Goodwin model dat in 1967 is ontwikkeld door de Amerikaanse econoom Richard Goodwin. Goodwin op zijn beurt baseerde zijn model op het zogenaamde Lotka-Volterra model uit de biologie.
In dit eerste deel van dit artikel ga ik achtereenvolgens in op het Lotka-Volterra model en het Goodwin model. In het volgende deel ga ik nader in op Steve Keen’s uitbreiding van het Goodwin model.
Over het Lotka-Volterra model is het nodige te vinden op Wikipedia. Keen geeft in zijn artikel A monetary Minsky model of the Great Moderation and the Great Recession uit 2011 een goede samenvatting van de opzet van het Goodwin model. Een andere nuttige samenvatting met de natruk op de wiskundige aspecten van het Goodwin model is het artikel An analysis of the Keen model for credit expansion, asset price bubbles and financial fragility, Grasselli en Lima, 2012.
Lotka-Volterra model
Het Lotka-Volterra model stamt uit de jaren twintig van de vorige eeuw. Het is een simpel model dat de interactie beschrijft tussen een populatie roofdieren en een populatie prooidieren. Ze bestaat uit twee vergelijkingen:
- Vergelijking 1: de ontwikkeling van de prooidierpopulatie in de tijd (Δprooidieren/Δtijd) is afhankelijk van het tempo waarin er prooidieren bijkomen (door voortplanting) en van het tempo waarin ze verdwijnen (omdat ze door roofdieren worden opgegeten):
Δprooidieren/Δtijd = α * prooidieren – β * prooidieren * roofdieren
De eerste term (α * prooidieren) geeft aan hoe snel er prooidieren bijkomen door voortplanting. Dat tempo wordt verondersteld evenredig te zijn met het aantal prooidieren. Hierin is α een constante. Als de populatie bijvoorbeeld 50 prooidieren bedraagt en er 50 prooidierjongen per jaar bijkomen, dan is α gelijk aan 50 / 50 = 1 jongen per prooidier per jaar. Een impliciete aanname hierbij is dat de beschikbaarheid van voedsel nooit een belemmering vormt voor de groei van deze populatie.
De tweede term (β * prooidieren * roofdieren) geeft aan hoe snel er prooidieren verdwijnen doordat ze door de roofdieren worden opgegeten. Dat tempo is gelijk aan het aantal prooidieren maal het aantal roofdieren. Dat betekent dat wordt verondersteld dat de kans dat een bepaald prooidier wordt gevangen onafhankelijk is van het aantal prooidieren en recht evenredig is met het aantal roofdieren, terwijl aan de andere kant de kans dat een bepaald roofdier een prooidier vangt onafhankelijk is van het aantal roofdieren en evenredig is met het aantal prooidieren.
Hierbij is β een constante. Als er bijvoorbeeld bij een populatie van 50 prooidieren en 10 roofdieren 25 prooidieren per jaar gevangen worden, dan is β gelijk aan 25 / 10 * 50 = 0,05 vangsten per prooidier en per roofdier per jaar.
- Vergelijking 2: de ontwikkeling van de roofdierpopulatie in de tijd is afhankelijk van het tempo waarin er roofdieren bijkomen (door voortplanting) en door het tempo waarin er roofdieren verdwijnen (door ziekte of ouderdom):
Δroofdieren/Δtijd = δ * roofdieren * prooidieren – γ * roofdieren
De eerste term (δ * roofdieren * prooidieren) geeft aan hoe snel er roofdieren bijkomen door voortplanting. Ze wordt verondersteld evenredig te zijn met het aantal roofdieren maal het aantal prooidieren. Dat betekent dat wordt verondersteld dat het tempo waarin een individueel roofdier jongen krijgt recht evenredig is met de omvang van de populatie prooidieren en onafhankelijk is van het aantal roofdieren. Met andere woorden, hoe meer prooidieren er zijn, hoe meer jongen een individueel roofdier krijgt, ongeacht het aantal roofdieren. Hierbij is δ een constante. Als er bijvoorbeeld bij een populatie van 10 roofdieren en 50 prooidieren 5 roofdierjongen per jaar bijkomen, dan is δ gelijk aan 5 / 50 * 10 = 0,01 jongen per roofdier en per prooidier per jaar.
De tweede term (- γ * roofdieren) geeft aan dat het aantal roofdieren dat doodgaat (door ziekte of ouderdom) recht evenredig is met het aantal roofdieren. Daarbij γ is een constante, die de kans aangeeft dat een willekeurig roofdier in een bepaald jaar doodgaat. Als er bijvoorbeeld op een populatie van 10 roofdieren 5 per jaar doodgaat, dan is γ gelijk aan 5 / 10 = 0,5 doden per roofdier per jaar.
Je kunt bij het model overigens wel wat kritische kanttekeningen maken:
- het is niet zo waarschijnlijk dat het tempo waarin een individueel roofdier prooidieren vangt onafhankelijk is van het aantal concurrenten op diezelfde prooidieren aast;
- het is niet zo waarschijnlijk dat het tempo waarin een individueel roofdier jongen krijgt onafhankelijk is van het aantal prooidieren per roofdier;
- er wordt niet meegenomen dat roofdieren uitgeschakeld kunnen worden door een gebrek aan voedsel, daardoor kan de populatie prooidieren ten opzichte van de populatie roofdieren irreëel klein worden.
Het model is hierna als Vensim model weergegeven (prooidier populatie en roofdier populatie zijn geprogrammeerd als stock variabelen, de andere variabelen als gewone variabelen.
Als je het model doorrekent, uitgaande van de hiervoor aangegeven waarden van α, β, γ en δ en van een beginpopulatie van 50 prooidieren en 10 roofdieren, dan krijg je de volgende grafiek, die typisch is voor het Lotka-Volterra model.
Wat je ziet is dat de beide populaties rond een evenwichtsniveau op en neer bewegen en dat de verandering van de roofdier populatie qua omvang steeds naijlt bij verandering van de prooidier populatie. Dat is als volgt te verklaren:
- als de prooidier populatie laag is, dan zal de roofdier populatie zich door een gebrek aan voedsel slechts langzaam voortplanten en door sterfte in omvang afnemen;
- als vervolgens de roofdierpopulatie door sterfte is uitgedund, dan zal de prooidier populatie door de afgenomen bejaging in omvang toenemen;
- vanwege het toegenomen aantal prooidieren beschikt de roofdier populatie over meer voedsel, waardoor de roofdieren zich weer sneller voortplanten en de populate in omvang toeneemt;
- als de roofdier populatie daardoor is toegenomen, dan zal de prooidier populatie door de extra bejaging weer in omvang krimpen, waarna de cyclus weer opnieuw begint.
De evenwichtsniveaus van de beide populaties worden geheel bepaald door de waarden die worden gekozen voor de constanten α, β, γ en δ. Bij elke combinatie van waarden van deze constanten horen bepaalde waarden voor de evenwichtsniveaus van de beide populaties.
De amplitude van de variatie van de beide populaties hangt daarbij alleen af van de initiële omvang die voor de beide populaties wordt gekozen. Als de initiële populaties gelijk worden gesteld aan de evenwichtsniveaus van de beide populaties, dan wordt die amplitude nul en produceert het model rechte lijnen.
Dat is te zien in de volgende figuur, op basis van de hiervoor genoemde waarden van α, β, γ en δ. De bijbehorende evenwichtspopulatie bedraagt 50 voor de prooidieren en 20 voor de roofdieren. In de figuur is de initiële populatie van de prooidieren steeds op 50 gehouden en is de initiële populatie van de roofdieren van 5, 10, 15 en 20 gebruikt.
Goodwin model
Het Goodwin model is een model van de fysieke economie, uitgedrukt in de ruilwaarde van goederen in diensten. Met andere woorden, uitgedrukt in de reële waarde van geld. Een uitgangspunt van het model is dat de omvang van de productie geheel wordt bepaald door de beschikbare productiemiddelen (gebouwen, machines, grondstoffen, etc.), waarbij de producenten steeds net voldoende mensen in dienst houden om deze productiemiddelen maximaal te kunnen benutten.
Ik heb het originele artikel van Goodwin niet kunnen vinden, dus ik weet niet precies wat hij met het model beoogde. Maar ik neem aan dat zijn doel was om te bekijken wat voor effect het “gevecht” tussen producenten en werknemers om de opbrengst van de productie zou kunnen hebben op de ontwikkeling van de economie en of dit de bekende conjunctuurcyclus zou kunnen verklaren.
De reële waarde van de productiemiddelen wordt aangeduid als kapitaal (als ik het in het vervolg heb over waarde dan bedoel ik reële waarde). De waarde van de maximale productie die hiermee kan worden gerealiseerd is afhankelijk van de verhouding tussen de waarde van die productiemiddelen, het kapitaal dus, en van de waarde van de maximale productie die met die productiemiddelen kan worden gerealiseerd. Die verhouding wordt de accellerator genoemd:
productie(t) = kapitaal(t) / accellerator
De toevoeging (t) geeft aan dat de omvang van de productie en van het kapitaal in de tijd kunnen variëren. De accellerator wordt als constant verondersteld.
Omdat Goodwin veronderstelt dat ondernemers steeds net voldoende mensen in dienst houden om hun productiemiddelen maximaal te benutten, geldt tevens:
werknemers(t) = productie(t) / arbeidsproductiviteit(t)
Een voorbeeld. Stel dat er op een gegeven moment kapitaal ter waarde van 1 miljoen euro (reële waarde) beschikbaar is en dat met 2 euro aan kapitaal maximaal 1 euro aan product per jaar kan worden geproduceerd (dan geldt dus: accellerator = 2). De maximale productie bedraagt dan 500.000 euro per jaar. Stel dat de arbeidsproductiviteit van de werknemers 50.000 euro per jaar bedraagt. Een aantal van 500.000 / 50.000 = 10 werknemers volstaat dan om de productiemiddelen, het kapitaal dus, maximaal te benutten.
Goodwin is er verder van uitgegaan dat de beroepsbevolking (het aantal mensen dat zou kunnen werken) en de arbeidsproductiviteit van die mensen elk jaar met een zeker percentage toenemen (t is de tijd in jaren):
beroepsbevolking(t) = Initiële beroepsbevolking * (1 + bevolkingsgroei factor)^t
arbeidsproductiviteit(t) = Initiële arbeidsproductiviteit * (1 + productiviteitsgroei factor)^t
Een voorbeeld. Stel dat de initiële beroepsbevolking 10.000 mensen bedraagt en de jaarlijkse bevolkingsgroei factor 2%, dan bedraagt de beroepsbevolking na 5 jaar 10.000 * (1 + 0,02)^5 = 11.041 mensen.
Uit het voorgaande volgt dat de relatieve (procentuele) groei in de tijd gelijk is aan:
Δberoepsbevolking/beroepsbevolking * Δtijd = bevolkingsgroei factor
Δarbeidsproductiviteit/arbeidsproductiviteit * Δtijd = productiviteitsgroei factor
Verder definieert Goodwin werkgelegenheid als het aantal mensen met een baan gedeeld door het totale aantal mensen dat in aanmerking komt voor een baan:
werkgelegenheid = werknemers / beroepsbevolking
Daarnaast geldt in het algemeen dat:
productie = lonen + winsten
fractie lonen = lonen / productie
fractie winsten = winsten / productie
En dus:
winsten = productie - lonen
fractie winsten = 1 – fractie lonen
winsten = fractie winsten * productie
= ( 1 – fractie lonen) * productie
NB. op het eerste gezicht lijkt het misschien gek dat de waarde van de productie gelijk wordt gesteld aan de som van alle lonen en winsten, omdat er ook nog grondstoffen, machines, halffabrikaten en dergelijke voor een productieproces moeten worden ingekocht. Als je de economie echter in zijn geheel bekijkt (wat we hier doen), dan zijn de kosten van alle producten, dus ook die van de grondstoffen, machines en halffabrikaten die nodig zijn om producten “hoger in de productieketen” te maken, te herleiden tot de lonen van de mensen die ze opgraven of maken en de winsten van de producenten die deze mensen daarvoor hebben ingehuurd. Met andere woorden, per saldo wordt alles geproduceerd door werknemers, waarna de producenten de productie verkopen en de werknemers en de producenten de poet verdelen. En over die verdeling en het effect daarvan op de economie, daarover gaat het Goodwin model.
Goodwin gaat ervan uit dat de productiemiddelen (het kapitaal dus) in een vast tempo, afschrijvingsfactor genoemd, hun waarde verliezen door slijtage en veroudering:
afschrijving = kapitaal * afschrijvingsfactor
Een voorbeeld. Als de afschrijvingsfactor 5% bedraagt, dan verliezen de productiemiddelen elk jaar 5% van hun aankoopwaarde.
Goodwin gaat verder uit van de wet van Say, die er op neerkomt dat de lonen van de werknemers en de winsten van de producenten gelijk weer worden uitgegeven. In dit geval wordt verondersteld dat de werknemers hun lonen uitgeven aan consumptiegoederen en dat de producenten hun winsten uitgeven aan (= investeren in) kapitaalgoederen. Dat betekent dus dat de waarde van het kapitaal in de tijd toeneemt met de waarde van de gerealiseerde winsten en afneemt met de waarde van de afschrijving:
investering = Δkapitaal/Δtijd = winsten – afschrijving
= winsten - kapitaal * afschrijvingsfactor
= ( 1 – fractie lonen ) * productie - kapitaal * afschrijvingsfactor
We zagen al dat fractie lonen = lonen / productie. En lonen is gelijk aan het aantal werknemers maal het loon dat elke werknemer ontvangt:
lonen = loon * werknemers
Verder zagen we al dat productie = arbeidsproductiviteit * werknemers. Dat betekent dat:
fractie lonen = loon * werknemers / arbeidsproductiviteit * werknemers
= loon / arbeidsproductiviteit
En dus:
fractie winsten = 1 - loon / arbeidsproductiviteit
NB, je vraagt je misschien af, waar zit het geld in het Goodwin model? Het antwoord is, dat is er niet. Althans, het is niet expliciet gemaakt. De parameters loon, productie, kapitaal en dergelijke zijn allemaal reëel. Dat wil zeggen dat ze zijn uitgedrukt in hoeveelheden product. Stel je een economie voor waarin alleen maar appels worden geproduceerd en verhandeld, dan zijn de parameters loon, productie, kapitaal en dergelijke uitgedrukt in aantallen appels.
De Phillips curve: toewerking naar het Lotka-Volterra model
Om te kunnen toewerken naar het Lotka-Volterra model veronderstelt Goodwin dat de groei van het loon (die invloed heeft op het aandeel van de werkers in de opbrengsten van de productie) wordt bepaald door de onderhandelingspositie die de werknemers hebben. Die positie wordt beter naarmate de werkgelegenheid hoger is en de werknemers dus schaarser zijn. Goodwin legt het verband tussen de loongroei en de werkgelegenheid via de Phillips curve (zie het artikel Steve Keen's Endogeen geld model – 2).
In de volgende figuur is de originele (logaritmische) Phillips curve (zwart) vergeleken met de exponentiele curve die ik heb gebruikt (rood). Het is niet de curve die Goodwin zelf gebruikte (dat was een rechte lijn), maar een alternatief van Keen dat de Phillips curve goed volgt, maar dat er ervan afwijkt bij een werkgelegenheden groter dan 98%.
Steve Keen heeft voor zo'n exponentiele curve gekozen omdat de originele logaritmische Phillips curve naar oneindig gaat als de werkgelegenheid de 100% nadert, wat tot onwaarschijnlijke resultaten van het model zou leiden. Zoals in de figuur is te zien komt de curve van Keen niet boven de 11%, wat in lijn is met de in de echte wereld aangetroffen maximale reële loonstijgingen.
Verder met het model. De relatieve (procentuele) loongroei in de tijd is dus gelijk gesteld aan:
Δloon/loon * Δtijd = Phillips curve (werkgelegenheid)
Zoals eerder aangegeven is het uitgangspunt dat productie = kapitaal / accellerator. Dat betekent dat de verandering van de productie in de tijd gelijk is aan de verandering in het kapitaal in de tijd, gedeeld door de accellerator:
Δproductie/Δtijd = Δkapitaal/accelerator * Δtijd
En omdat geldt (zie hiervoor) dat Δkapitaal/Δtijd = ( 1 – fractie lonen ) * productie - kapitaal * afschrijvingsfactor, kan worden geschreven:
Δproductie/Δtijd = ( ( 1 – fractie lonen ) * productie - kapitaal * afschrijvingsfactor ) /
accellerator
= productie * ( ( 1 – fractie lonen ) / accellerator - afschrijvingsfactor )
En dus ontwikkelt de productie zich in relatieve zin als volgt in de tijd:
Δproductie/productie * Δtijd = ( 1 – fractie lonen ) / accellerator - afschrijvingsfactor
We zagen al dat fractie lonen = loon / arbeidsproductiviteit. Dit betekent dat de verandering van de fractie lonen in de tijd gelijk is aan:
Δfractie lonen/Δtijd = Δloon/Δtijd – Δarbeidsproductiviteit/Δtijd
NB. het voorgaande volgt uit het wiskundige principe dat als X = Y/Z, dat dan de verandering van X in de tijd (ΔX/Δtijd) gelijk is aan de verandering van Y in de tijd min de verandering van Z in de tijd. Dus: ΔX/Δtijd = ΔY/Δtijd - ΔZ/Δtijd. Dat komt omdat als Z kleiner wordt, Y/Z juist groter wordt en dus X ook groter wordt, en omgekeerd. Met andere woorden, als ΔZ/Δtijd negatief is, dan is ΔX/Δtijd juist positief, en omgekeerd.
De voorgaande vergelijking kan je herschrijven naar een relatieve (procentuele) verandering in de tijd:
Δfractie lonen/ Δfractie lonen * Δtijd = Δloon/loon * Δtijd –
Δarbeidsproductiviteit/arbeidsproductiviteit * Δtijd
En we al zagen dat:
Δarbeidsproductiviteit/arbeidsproductiviteit * Δtijd = productiviteitsgroei factor
Δloon/loon * Δtijd = Phillips curve (werkgelegenheid)
En dus:
Δfractie lonen/fractie lonen * Δtijd = Phillips curve (werkgelegenheid) –
productiviteitsgroei factor
Verder zagen we dat:
werkgelegenheid = werknemers / beroepsbevolking
= ( productie / arbeidsproductiviteit ) / beroepsbevolking
En dus:
Δwerkgelegenheid/werkgelegenheid*Δtijd = Δproductie/productie * Δtijd
– Δarbeidsproductiviteit/arbeidsproductiviteit * Δtijd
– Δberoepsbevolking/beroepsbevolking * Δtijd
= ( 1 – fractie lonen ) / accellerator
– afschrijvingsfactor
– productiviteitsgroei factor
– bevolkingsgroei factor
En daarmee komen we uit bij de twee Lotka-Volterra-achtige vergelijkingen in het Goodwin model:
Δfractie lonen/Δtijd = fractie lonen * ( Phillips curve (werkgelegenheid)
– productiviteitsgroei factor )
Δwerkgelegenheid/Δtijd = werkgelegenheid * ( ( 1 – fractie lonen ) / accellerator
– afschrijvingsfactor
– productiviteitsgroei factor
– bevolkingsgroei factor )
Het complete model is hierna als Vensim model weergegeven.
Constanten zijn rood aangegeven, afgeleide constanten (berekend uit andere constanten) zijn oranje aangegeven, gewone variabelen zijn groen aangegeven, flow variabelen bruin en stockvariabelen zwart in blokjes. In aansluiting op het Minsky model van Keen (waarover in volgende artikelen meer) heb ik voor de constanten de volgende waarden aangehouden:
Bij beroepsbevolking initieel kan een willekeurige waarde worden ingevuld. Deze waarde heeft geen effect op de relatieve waarde van de overige variabelen maar alleen op de absolute waarde van deze variabelen.
In de volgende figuur is het verband getoond tussen de fractie lonen en de werkgelegenheid. De overeenkomst met het Lotka-Volterra model is duidelijk (zie de eerste figuur):
- als de werkgelegenheid laag is dan zijn er veel werklozen, zodat de werknemers een slechte onderhandelingspositie hebben en hun loon en de fractie lonen relatief laag zijn;
- de producenten maken dan veel winst (want lage fractie lonen = hoge fractie winsten), dat ze uitgeven aan nieuw kapitaal, waardoor de productie groeit en de werkgelegenheid stijgt;
- het loon van de werknemers loopt daardoor op, waardoor de fractie winsten onder druk komt te staan en de uitgaven aan nieuw kapitaal stagneren;
- door de gestagneerde kapitaaluitgaven stokt ook de productie, zakt de werkgelegenheid weer in en dalen de lonen tot een laag niveau, waarmee de cyclus weer rond is.
Meer specifiek kun je stellen dat:
- de werkgelegenheid groeit alleen als de productiegroei, en dus de kapitaalgroei (= winst minus afschrijving), groter is dan de groei van de arbeidsproductiviteit plus de groei van de beroepsbevolking;
- de fractie lonen groeit alleen als de groei van het loon groter is dan de groei van de arbeidsproductiviteit.
De maximale productie wordt in het Goodwin model gedicteerd door het product van de omvang van de beroepsbevolking en de hoogte van de arbeidsproductiviteit. Als de productie dit niveau nadert, dus als de werkgelegenheid oploopt richting 100%, dan leidt de daarmee gepaard gaande daling van de fractie winsten tot stagnatie van de kapitaaluitgaven en dus van de productie.
Dat is te zien in de volgende figuur. De rode lijn geeft de productie bij 100% werkgelegenheid weer, een lijn die met 1% beroepsbevolkingsgroei plus 2% arbeidsproductiviteitsgroei per jaar stijgt. De blauwe lijn is de productie zoals gegenereerd door het Goodwin model. Wat je ziet is dat de producte steeds oploopt naar de rode lijn, om daar te stagneren vanwege de dan snel oplopende lonen, waardoor de investeringen en daarmee de productiegroei stagneren.
In de volgende figuur is ter illustratie de door het Goodwin model gegenereerde curve over de curve van het reele GDP van de VS in de periode 1960 - 2010 gelegd.
Het Goodwin model biedt een verklaring voor het optreden van een conjunctuurcyclus als gevolg van de interactie tussen de werknemers die een zo hoog mogelijk loon nastreven en de producenten die proberen hun winst te maximaliseren door hun productiemiddelen, hun kapitaal, optimaal in te zetten. Met andere woorden, een conjunctuurcyclus van endogene oorsprong, van binnenuit dus, die veroorzaakt wordt door het economische systeem zelf. Dat staat haaks op het idee dat deze cyclus een exogene oorsprong heeft, dus dat ze wordt veroorzaakt door invloeden van buiten het economische systeem, zoals neoklassieke economen denken.
Er valt echter het nodige aan te merken op het Goodwin model. Een van de belangrijkste punten is dat in het model geen rekening is gehouden met de mogelijkheid van investering met geleend geld. Daarnaast is verondersteld dat producenten altijd hun gehele winst investeren, ongeacht de ontwikkeling van de productie en de vooruitzichten die je daarop zou kunnen baseren. En dat is niet overeenkomstig de praktijk.
Keen introduceert daarom twee nieuwe elementen in het model: de mogelijkheid om te investeren met geleend geld en de toepassing van een investeringscurve, vergelijkbaar met de Philips curve, waarin de ontwikkeling van het investeringsniveau afhankelijk is gesteld van het winstniveau op dat moment. Hierover meer in het artikel Extended Goowdin model – II.
© Anton van de Haar - december 2012