De eerste artikelen over de modellen van Godley en Lavoie gingen over hun basismodel SIM. Dat model kent alleen fiatgeld en de sectoren overheid en huishoudens waarbij die laatste zowel de rol van producent als van consument speelt. Vervolgens is dit model uitgebreid tot het model PC, waarin de centrale bank als een aparte sector is afgesplitst van de overheid en waarin kortlopende obligaties, bills, zijn geïntroduceerd, die niet in koers kunnen veranderen.
In dit artikel wordt het model PC verder uitgebreid tot het model LP. Het wijkt op twee punten af van PC:
- De overheid heeft, naast kortlopende obligaties (bills), nu een tweede instrument tot haar beschikking gekregen om haar tekorten te financieren, namelijk langlopende obligaties (bonds). Bonds kunnen, in tegenstelling tot bills, wél in koers veranderen.
- Het model wordt nu direct uitgewerkt op basis van verwachtingen. Het zou, in lijn met SIMEX en PCEX, dus eigenlijk LPEX moeten heten. Maar omdat G&L het met LP aanduiden, heb ik me daarbij aangesloten.
De modelnaam LP staat voor liquidity preference, liquiditeitsvoorkeur. Dat is een term, ooit geïntroduceerd door Keynes, voor de afweging van het aanhouden van (liquide) cashgeld versus (illiquide) beleggingen, in dit geval fiatgeld en bills versus bonds.
LP is verder identiek aan PC. Samenvattend:
- economisch systeem: gesloten (d.w.z. geen handel met het buitenland)
- economie: vraaggedreven
- geld: alleen fiatgeld (biljetten)
- sectoren: overheid, huishoudens en centrale bank
- productie: direct, “uit het niets”
- arbeid: onbeperkt voorradig
- financiering overheid: via belastingheffing en verkoop van bills en bonds
- prijsvorming: productprijs = prijs arbeid, wordt vastgesteld door de overheid
Perpetuele obligaties
G&L gaan er in het LP model van uit dat alle bonds bestaan uit perpetuele obligaties. Dat zijn obligaties met een oneindig lange looptijd. Anders gezegd, obligaties die nooit hoeven te worden afgelost. Ze geven niet aan waarom ze daarvoor kiezen, maar ik neem aan dat ze dat doen om het rekenwerk in dit stadium zo simpel mogelijk te houden.
NB. Als je kiest voor obligaties met een bepaalde looptijd (bv. 10 periodes), dan levert dat na 10 perioden 10 series obligaties op met looptijden variërend van 1 t/m 10 perioden, die allemaal een andere relatie kennen tussen effectieve rente (ontvangen rente minus contant gemaakt verschil tussen aankoopkoers en nominale waarde) en aankoopkoers. Dat maakt het rekenwerk veel ingewikkelder.
NB. De keuze voor perpetuele obligaties versus obligaties met een beperkte looptijd heeft m.i. weinig effecten op het model, behalve dan dat de koers van obligaties heftiger reageert op veranderingen in de rentestand naarmate de resterende looptijd langer is.
G&L gaan er van uit dat de bonds steeds één dollar rente per periode opleveren, opnieuw om het rekenwerk eenvoudig te houden. Dat heeft als gevolg dat de omvang van de rentebetalingen in een bepaalde periode steeds gelijk is aan het aantal aan het eind van de vorige periode uitstaande bonds, BL-1.
De totale waarde van die bonds is daarbij steeds gelijk aan het aantal uitstaande bonds BL maal de prijs per bond pBL. De vraag is vervolgens, wat is dan die prijs per bond pBL?
Die vraag kan worden afgeleid uit het gegeven dat:
- er over de aan het eind van een periode in bezit zijnde bonds steeds in de periode erna rente wordt betaald, wat betekent dat het in een periode ontvangen bedrag aan rente steeds gelijk is aan het aantal bonds aan het eind van de vorige periode, BL-1;
- de omvang van dit bedrag aan rente correspondeert met de rentestand maal de waarde van de bonds aan het eind van de vorige periode, rBL-1 * pBL-1 * BL-1 (waarin pBL-1 staat voor de prijs van de bonds aan het eind van de vorige periode).
Combinatie van deze gegevens levert:
BL-1 = pBL-1 * BL-1 * rBL-1
pBL-1 = BL-1 / (BL-1 * rBL-1 )
= 1 / rBL-1
pBL = 1 / rBL
Dit antwoord kan ook op veel simpelere wijze worden verkregen door je te realiseren dat de waarde van de bond gelijk zou moeten zijn aan het bedrag waar je van zou moeten afzien om bij een rentestand rBL een rente van 1 dollar per periode te ontvangen:
pBL * rBL = 1
pBL = 1 / rBL
rBL = 1 / pBL
Een voorbeeld: als de lange rente 5% is, dan is pBL = 1 / rBL = 1/ 0,05 = 20 dollar.
Het verwachte rendement op bonds
Als gezegd kunnen bonds in tegenstelling tot bills van koers veranderen. Dat betekent dat een bezitter van een bond niet alleen rente (pBL-1 * rBL-1) ontvangt, maar ook koerswinst of verlies (ΔpBL) kan maken. De totale winstmarge (rate of return, RRBL) is gelijk aan:
RRBL = rBL-1 + ΔpBL/pBL-1
= 1/ pBL-1 + ΔpBL/pBL-1
= ( 1 + ΔpBL ) /pBL-1
= ( 1 + pBL – pBL-1 ) / pBL-1
Als huishoudens overwegen om bonds te kopen, dan kijken ze naar de huidige prijs pBL omdat die het renterendement bepaalt (want pBL = 1 / rBL). Maar ze proberen ook een inschatting te maken van de prijsontwikkeling (t.o.v. de volgende periode), want samen bepalen die de verwachte winstmarge (expected rate of return, ERRBL):
ERRBL = rBL + χ * (peBL - pBL ) / pBL
In deze verwachting staat rBL voor de (vooraf bekende) rente die in de volgende periode zal worden ontvangen en staat peBL voor de aan het eind van de volgende periode verwachte prijs. De huishoudens gebruiken deze verwachting voor hun beslissing over de hoeveelheid aan te houden bonds. Maar ze zijn onzeker over de verwachte koersverandering peBL - pBL. Daarom hechten ze daaraan een waarschijnlijkheidsfactor χ.
Het effect van die waarschijnlijkheidsfactor is dat naarmate hun onzekerheid groter is (en χ dus kleiner), de invloed van de door de huishoudens verwachte prijsverandering op de portfolio keuze voor bonds kleiner zal zijn.
Veranderende bondprijzen
Zoals gezegd is het rendement op bonds niet alleen afhankelijk van de rente op die bonds, maar ook van de prijsontwikkeling van die bonds. De waarde van de bonds aan het einde van de vorige periode is gelijk aan pBL-1 * BL-1, en die aan het eind van de huidige periode is gelijk aan pBL * BL. Het verschil is dus:
ΔBL = pBL * BL – pBL-1 * BL-1
Dit verschil heeft twee componenten. De eerste is de waardeontwikkeling als gevolg van de verandering van het aantal bonds sinds de vorige periode ( pBL * ΔBL ). De tweede is de ontwikkeling van die waarde door de verandering van de prijs van die bonds sinds de vorige periode (BL-1 * ΔpBL ). Samen is dat pBL * ΔBL + BL-1 * ΔpBL . Dat kun je als volgt afleiden:
ΔBL = pBL * BL – pBL-1 * BL-1
= pBL * BL – ( pBL – ΔpBL ) * ( BL – ΔBL)
= pBL * BL – ( pBL * BL – pBL * ΔBL – BL * ΔpBL + ΔBL * ΔpBL )
= pBL * ΔBL + BL * ΔpBL – ΔBL* ΔpBL
= pBL * ΔBL + BL * ΔpBL – (BL – BL-1) * ΔpBL
= pBL * ΔBL + BL-1 * ΔpBL
Als deze afleiding wat lastig, is, kun je haar ook heel simpel uit de volgende figuur aflezen.
De balans en transactiestroom matrix van het model LP
De balans van het LP model is aangegeven in de volgende tabel.
Ten opzichte van het model LP is de balans uitgebreid met bonds (rood aangegeven). Wat je ziet is dat de door de overheid uitgegeven bonds allemaal in handen zijn van de huishoudens, de centrale bank bezit geen bonds, alleen bills.
G&L merken op dat dit laatste punt niet overeenkomt met de werkelijke wereld, waarin centrale banken wél langer lopende obligaties in bezit hebben. Ze leggen echter niet uit waarom ze deze keuze gemaakt hebben, hoewel ze opmerken dat centrale banken in de regel niet proberen om de lange rente te beïnvloeden.
NB. hel lijkt me dat de centrale banken de lange rente wel degelijk beïnvloeden als ze langlopende obligaties opkopen, omdat ze daarmee extra vraag creëren, wat per definitie een prijsopdrijvend (en dus rentedrukkend) effect heeft.
De transactiestroom matrix van het LP model is aangegeven in de volgende tabel.
Ten opzichte van het PC model zijn er twee regels toegevoegd aan de transactiestroom matrix. De eerste is een regel voor de flow rente op bonds, de tweede een regel voor de verandering van het aantal bonds in de stock bonds. Die laatste regel geeft echter alleen het effect van de verandering van het aantal bonds weer, niet het effect van de verandering van de prijs van die bonds.
De reden van dat laatste is dat de flow van/naar de stock bonds alleen weerspiegeld wordt door de verandering van het aantal bonds en niet door de verandering van de prijs van die bonds, want die prijsverandering is geen weerspiegeling van een flow. Ze is echter wel relevant voor de ontwikkeling van het vermogen van de huishoudens. Ze is daarom aangegeven in de als laatste toegevoegde regel memo: Capital Gains (kapitaalwinsten).
De LP modelvergelijkingen – algemene vergelijkingen
De modelvergelijkingen van het LP model hangen nauw samen met die van het SIM model en het PC model. Omdat ervan is uitgegaan dat vraag en aanbod steeds aan elkaar gelijk zijn, zijn hierna de subscripts “s” (aanbod) en “d” (vraag) voor wat betreft de flows weggelaten. Dat is echter niet gedaan voor de stocks aan fiatgeld, bills en bonds, waarover hieronder meer. De vergelijkingen die in het model terugkomen hebben een nummer gekregen.
De productie is opnieuw gelijk aan de consumptie plus de overheidsuitgaven:
Y = C + G (1)
Uit de eerste kolom kan het besteedbare inkomen YD worden afgelezen. Ze is gelijk aan de lonen, aangegeven als Y (want Y = G + G = WB), plus ontvangen rente op bills rB-1 * Bh-1, plus ontvangen rente op bonds BLh-1, minus betaalde belastingen T:
YDr = Y – T + rB-1 * Bh-1 + BLh-1 (2)
NB. In deze vergelijking is koerswinst niet meegenomen, bij wijze van conventie. Daarom is gebruik gemaakt van de aanduiding YDr (r van regulier inkomen, exlusief koerswinst) in plaats van YD.
Verder is aangenomen dat de huishoudens over hun inkomsten uit loon Y en hun inkomsten uit rente rB-1 * Bh-1 + BLh-1 steeds hetzelfde belastingtarief Θ betalen ( met Θ < 1):
T = Θ * ( Y + rB-1 * Bh-1 + BLh-1 ) (3)
NB. In deze vergelijking is dus geen belastingheffing op koerswinst meegenomen. Dat sluit aan op het feit dat in veel landen geen belasting wordt geheven op koerswinsten of dat zo´n belasting pas wordt geheven nadat de betreffende producten zijn verkocht.
Het vermogen van de huishoudens V, dat wil zeggen de som van hun spaargeld, hun bills en hun bonds, is gelijk aan hun vermogen aan het eind van de vorige periode plus hun besteedbare inkomen minus hun consumptie:
V = V−1 + YDr − C + CG (4)
met CG (capital gains) = ΔpBL * BLh-1 (5)
Het is ook mogelijk om YD te definiëren als inkomen inclusief kapitaalwinst. Dat inkomen, gelijk aan consumptie plus vermogenswinst (ΔV) en tevens gelijk aan het reguliere inkomen plus kapitaalwinsten CG, wordt ook wel aangeduid als Haig Simons inkomen (YDhs):
YDhs = C + ΔV
= YDr + CG
Deze laatste vergelijking speelt geen rol in het model LP, maar ze is niettemin van belang omdat ze het verband aangeeft tussen het reguliere inkomen en het Haig Simons inkomen.
G&L gaan nu gelijk verder met vergelijkingen op basis van verwachtingen. Net als in het SIMEX model en het PCEX model gaan ze ervan uit dat de huishoudens als producenten perfect vooruitziend zijn, maar dat ze als consument onzeker zijn geworden. Ze veronderstellen nu dat de huishoudens niet precies weten wat hun inkomen zal zijn en dat ze daarom het niveau van hun consumptie afstellen op hun verwachtingen.
Net als in het SIMEX en PCEX model levert dit de volgende aangepaste consumptiefunctie op, waarin YDre staat voor het in de lopende periode verwachte besteedbare inkomen:
C = α1 * YDre + α2 * V-1 (6)
De consequentie van deze vergelijking is dat kapitaalwinsten in de lopende periode geen effect hebben op de consumptie. G&L merken op dat empirisch onderzoek erop lijkt te wijzen dat kapitaalwinsten vertraagd doorwerken in de consumptie, wat hun keuze rechtvaardigt.
In lijn met de vorige vergelijking kan er nu ook een vergelijking voor het verwachte vermogen Ve worden gegeven:
Ve = V−1 + YDre − C + CGe (7)
NB. In het boek van G&L is in de voorgaande vergelijking abusievelijk CG aangegeven, maar het moet dus CGe zijn. Dat is bevestigd door Marc Lavoie.
De LP modelvergelijkingen – portfolio keuze
In het voorgaande model PC sloten G&L zich aan bij eerder werk van de Amerikaanse econoom James Tobin. Ze stelden dat de omvang van het vermogen dat de huishoudens willen aanhouden in de vorm van bills afhangt van drie aspecten:
- een algemene geneigdheid om bills aan te houden (λ0);
- de geneigdheid om bills aan te houden als bron van rente-inkomsten (λ1);
- de geneigdheid om geld achter de hand te houden voor het doen van aankopen(λ2).
In formulevorm (voor het voorgaande model PCEX):
Bd / Ve = λ0 + λ1 * rB – λ2 * ( YDe / Ve )
Bd = λ0 * Ve + λ1 * rB * Ve – λ2 * YDe
Dezelfde redenering volgen G&L nu in het model LP voor bonds, naast bills en geld. Voor wat betreft de bonds is de geneigdheid om deze aan te houden daarbij afhankelijk van zowel de rente als de verwachte koerswinst, die samen het verwachte rendement ERRBL opleveren:
Hd / Ve = λ10 + λ12 * rB + λ13 * ERRBL + λ14 * YDre / Ve
Bd / Ve = λ20 + λ22 * rB + λ23 * ERRBL + λ24 * YDre / Ve
pBL * BLd / Ve = λ30 + λ32 * rB + λ33 * ERRBL + λ34 * YDre / Ve
Uit deze drie vergelijkingen kan een aantal interessante zaken worden afgeleid, zij het dat daarvoor matrixwiskunde nodig is. Daarom is dat in een apart artikel uitgewerkt, waarin tevens de van het PC model afwijkende nummering van de verschillende λ wordt uitgelegd.
Omdat geldt dat het vermogen gelijk is aan bonds plus bills plus geld (Ve = Hd + Bd + BLd * pBL) zijn maar twee van de drie voorgaande vergelijkingen voor het model nodig en kan de eerste vergelijking worden vervangen door:
Hh = Ve – Bd – BLd * pBL
De LP modelvergelijkingen – het completeren van het model
Net als in het PCEX model nemen G&L aan dat huishoudens afwijkingen van het verwachte besteedbare inkomen YDe steeds opvangen met hun spaargeld. Hun uiteindelijke bezit aan spaargeld Hh kan dus gaan afwijken van het bedrag Hd waarop ze sturen:
Hh = V – Bh – BLh * pBL (8)
Hd = Ve – Bd – BLd * pBL (9)
Voor wat betreft het bezit van bills en bonds kunnen dan de hiervoor gegeven vergelijkingen voor Bd / Ve en pBL * BLd / Ve worden gebruikt:
Bd / Ve = λ20 + λ22 * rB + λ23 * ERRBL + λ24 * YDre / Ve
Bd = Ve * ( λ20 + λ22 * rB + λ23 * ERRBL + λ24 * YDre / Ve ) (10)
pBL * BLd / Ve = λ30 + λ32 * rB + λ33 * ERRBL + λ34 * YDre / Ve
BLd = Ve * ( λ30 + λ32 * rB + λ33 * ERRBL + λ34 * YDre / Ve ) / pBL (11)
Maar omdat de huishoudens de afwijking van hun verwachte inkomen van het uiteindelijk verkregen inkomen helemaal opvangen met hun spaargeld, is hun bezit aan bills Bh en bonds BLh aan het eind van de periode is steeds gelijk is aan het bezit aan bills en bonds waar ze aan het begin van de periode op inzetten, Bd en BLd:
Bh = Bd (12)
BLh = BLd (13)
De volgende vergelijking in het LP model is, net als in het PC model, de budgetbeperking van de overheid. Daarmee wordt de beperking expliciet gemaakt dat de overheid haar tekort niet kan dekken met het drukken van geld, want dat privilege is voorbehouden aan de centrale bank. In plaats daarvan zal ze dat moeten doen met de verkoop van bills en bonds, zoals aangegeven in kolom 3 in de transactiestroom matrix:
ΔBs = ( G + rB-1 * Bs-1 + BLs-1 ) – ( T + rB-1 * Bcb-1 ) - ΔBLs * pBL (14)
De vergelijking is uitgedrukt in termen van de opbrengsten van de nieuw uitgegeven bills en is gelijk aan de totale overheidsuitgaven (G plus uitgaven aan rente, eerste term tussen haakjes) minus de totale overheidsinkomsten (T plus inkomsten aan rente, tweede term tussen haakjes) minus de opbrengsten van de verkoop van bonds.
Zoals gezegd houdt de centrale bank alleen bills aan. Ze koopt die van de huishoudens, naargelang het aanbod van die huishoudens. Dat doet ze met nieuw gecreëerd geld:
ΔHs = ΔBcb (15)
De bills die de centrale bank van de huishoudens heeft gekocht betreft bills die de huishoudens naargelang het aanbod van de overheid hebben gekocht:
Bcb = Bs - Bh (16)
Omdat de centrale bank geen bonds aanhoudt, moeten alle door de overheid uitgegeven bonds wel steeds in handen zijn van de huishoudens:
BLs = BLh (17)
G&L geven bij de drie voorgaande vergelijkingen de volgende uitleg. De huishoudens kopen op aanbod bills van de overheid, waarna de centrale bank op aanbod van de huishoudens een deel van die bills weer overneemt. Precies zo gaat het met de bonds, met dien verstande dat de centrale bank de bonds die ze zo van de huishoudens koopt, per omgaande bij de overheid tegen bills inruilt. Ze koopt dus steeds de door de huishoudens aangeboden bills en bonds, maar die bonds bereiken nooit haar balans.
Een aantal van de in de voorgaande vergelijkingen gebruikte variabelen is nu nog niet gespecificeerd. Het gaat om het verwachte rendement op bonds ERRBL, de rente op bonds rBL, de verwachte prijs van bonds peBL, de verwachte kapitaalwinsten CGe, het verwachte besteedbare inkomen exclusief koerswinsten YDer.
De vergelijkingen voor het verwachte rendement op bonds en voor de rente op bonds zijn in het begin van dit artikel al gegeven:
ERRBL = rBL + χ * (peBL - pBL ) / pBL (18)
rBL = 1 / pBL (19)
Voor wat betreft de verwachte prijs van de bonds wordt er in het PC model vooralsnog van uitgegaan dat de huishoudens aannemen dat de verwachte prijs gelijk is aan de huidige prijs:
peBL = pBL (20)
Zoals eerder in dit artikel aangegeven is het verwachte koersrendement op bonds gelijk aan χ * (peBL - pBL ) / pBL. Dat betekent dat de verwachte kapitaalwinsten gelijk zijn aan:
CGe = BLh * pBL * χ * (peBL - pBL ) / pBL
= BLh * χ * (peBL - pBL ) (21)
Zoals hiervoor echter aangegeven wordt er vooralsnog van uitgegaan dat peBL gelijk is aan pBL. Dat betekent tevens dat CGe dan gelijk is aan nul.
Tenslotte is er nog het verwachte besteedbare inkomen exclusief koerswinsten YDer. Een optie is dat YDer random wordt gekozen. Vooralsnog wordt er, net als bij het model PCEX, van uitgegaan dat YDer gelijk is aan het besteedbare inkomen exclusief koerswinsten van de voorgaande periode:
YDer = YDr-1 (22)
Er zijn nu 22 vergelijkingen gespecificeerd, maar die bevatten 24 variabelen: Y, YDr, YDer , T, V, Ve, C, Hh, Hd, Bh, Bd, BLh, BLd, Hs, Bs, Bcb, BLs, pBL, peBL, CG, CGe, ERRBL, rBL and rB. De nog niet gespecificeerde variabelen zijn pBL en rB. Dit biedt de kans om deze variabelen exogeen te maken. En omdat pBL = 1 / rBL betekent dit dat zowel rB als rBL exogeen worden.
NB. Het concept dat zowel de korte rente (rB) als de lange rente (rBL) exogene variabelen zijn en dus buiten het systeem (door de centrale bank) kunnen worden aangestuurd staat haaks op de gebruikelijke aanname dat niet zowel de korte als de lange rente (en alle variaties daarop) kunnen worden aangestuurd. Maar het tegendeel blijkt dus uit dit model.
Het complete model LP
Al met al hebben we nu tweeëntwintig vergelijkingen en evenveel endogene (door het model vastgelegde) variabelen, die hieronder zijn aangegeven. De variabelen die niet door het model worden vastgelegd en waar dus van tevoren een waarde aan moet worden toegekend, zijn rood aangegeven.
Y = C + G (1)
YDr = Y – T + rB-1 * Bh-1 + BLh-1 (2)
T = Θ * ( Y + rB-1 * Bh-1 + BLh-1 ) (3)
V = V−1 + YDr − C + CG (4)
met CG (capital gains) = ΔpBL * BLh-1 (5)
C = α1 * YDre + α2 * V-1 (6)
Ve = V−1 + YDre − C + CGe (7)
Hh = V – Bh – BLh * pBL (8)
Hd = Ve – Bd – BLd * pBL (9)
Bd = Ve * ( λ20 + λ22 * rB + λ23 * ERRBL + λ24 * YDre / Ve ) (10)
BLd = Ve * ( λ30 + λ32 * rB + λ33 * ERRBL + λ34 * YDre / Ve ) / pBL (11)
Bh = Bd (12)
BLh = BLd (13)
ΔBs = ( G + rB-1 * Bs-1 + BLs-1 ) – ( T + rB-1 * Bcb-1 ) - ΔBLs * pBL (14)
ΔHs = ΔBcb (15)
Bcb = Bs - Bh (16)
BLs = BLh (17)
ERRBL = rBL + χ * (peBL - pBL ) / pBL (18)
rBL = 1 / pBL (19)
peBL = pBL (20)
CGe = BLh * χ * (peBL - pBL ) (21)
YDer = YDr-1 (22)
Al met al kent het systeem de exogene variabelen G, Θ, α1, α2, λ20, λ22 , λ23 , λ24 , λ30 , λ32 , λ33 , λ34 , χ, rB en pBL en de afgeleid exogene variabelen rBL, peBL, ERRBL en (omdat peBL gelijk is aan pBL) CGe
Net als in de vorige modellen ontbreekt er nu nog één relatie in de transactiestroom matrix: Hs=Hh. Vanwege de conditie in de transactiestroom matrix dat alle rijen en kolommen optellen tot nul, volgt deze vergelijking automatisch uit alle andere vergelijkingen, waardoor ze overtollig is voor het model (wet van Walras).
Het LP model schematisch
In de volgende figuur is een uitwerking in Vensim getoond van het LP model zoals hiervoor omschreven.
De endogene variabelen in het model zijn groen aangegeven, de exogene variabelen rood en de afgeleid exogene variabelen oranje. De in de vergelijkingen aangegeven in de tijd verschoven variabelen (t-1) zijn blauw aangegeven. De variabele CGe" is een toegevoegd om een kortsluiting van simultane vergelijkingen te doorbreken.
In het volgende artikel ga ik nader in op de bijzonderheden die kunnen worden afgeleid uit de drie portfoliokeuze vergelijkingen, de consequenties daarvan voor de waarden van de verschillende λ, de waarden van de overige exogene variabelen en een aantal rekenresultaten van het model LP.
© Anton van de Haar - mei 2013