De geneigdheden λ in de portfolio vergelijkingen
In het vorige artikel is het LP model gepresenteerd. In dat model zijn drie klassen financiële producten opgenomen waarin financieel vermogen kan worden aangehouden: geld, bills (kortlopende obligaties) en bonds (langlopende obligaties).
In voornoemd artikel is ervan uitgegaan dat de huishoudens hun portfolio, de verdeling van hun vermogen over de deze drie producten, laten afhangen van vier factoren:
- een algemene geneigdheid om elk van de drie producten aan te houden;
- de geneigdheid om geld, bills en bonds aan te houden, afhankelijk van de rente op bills;
- de geneigdheid om geld, bills en bonds aan te houden, afhankelijk van het verwachte rendement op bonds (ERRBL);
- de geneigdheid om geld, bills en bonds aan te houden, afhankelijk van het verwachte besteedbare inkomen (YDre).
Op basis hiervan zijn de volgende portfolio vergelijkingen geïntroduceerd. De twaalf erin aangegeven λ staan voor voornoemde geneigdheden.
Hd / Ve = λ10 + λ12 * rB + λ13 * ERRBL + λ14 * YDre / Ve
Bd / Ve = λ20 + λ22 * rB + λ23 * ERRBL + λ24 * YDre / Ve
pBL * BLd / Ve = λ30 + λ32 * rB + λ33 * ERRBL + λ34 * YDre / Ve
Deze vergelijkingen kunnen worden herschreven tot:
Hd = λ10 * Ve + λ12 * rB * Ve + λ13 * ERRBL * Ve + λ14 * YDre
Bd = λ20 * Ve + λ22 * rB * Ve + λ23 * ERRBL * Ve + λ24 * YDre
pBL * BLd = λ30 * Ve + λ32 * rB * Ve + λ33 * ERRBL * Ve + λ34 * YDre
Indien je veronderstelt dat banksaldo rente kan opleveren en dat dit, net als voor bills en bonds, een reden is om meer of minder geld, bills en bonds aan te houden, dan kunnen de voorgaande vergelijkingen nog verder worden uitgebreid (rH staat voor rente op banksaldo), waardoor het totale aantal geneigdheden op vijftien uitkomt:
Hd = λ10 * Ve + λ11 * rH * Ve + λ12 * rB * Ve + λ13 * ERRBL * Ve + λ14 * YDre
Bd = λ20 * Ve + λ21 * rH * Ve + λ22 * rB * Ve + λ23 * ERRBL * Ve + λ24 * YDre
pBL * BLd = λ30 * Ve + λ31 * rH * Ve + λ32 * rB * Ve + λ33 * ERRBL * Ve + λ34 * YDre
Deze vergelijkingen kunnen in de volgende matrixvergelijking worden geschreven:
Beperkende voorwaarden voor de waarden van de genoemde geneigdheden
Aan de waarden die de λ in deze matrixvergelijking kunnen aannemen, kunnen twee belangrijke beperkende voorwaarden worden gesteld:
- de kolom λ10-λ30 moet optellen tot 1;
- de overige kolommen (λ11-λ31, λ12-λ32, λ13-λ33 en λ14-λ34) moeten allemaal optellen tot nul.
De eerste voorwaarde volgt uit het feit dat de som van de waarde van het geld, van de bills en van de bonds altijd gelijk moet zijn aan het totale vermogen, ook voor de situatie dat rB, ERRBL en YDre alle drie gelijk zijn aan nul. Dat kan alleen maar als λ10 * Ve + λ20 * Ve + λ30 * Ve = Ve. En dat betekent dat moet gelden dat λ10 + λ20 + λ30 = 1.
De tweede voorwaarde volgt simpelweg uit de eerste voorwaarde. Omdat de term λ10 * Ve + λ20 * Ve + λ30 * Ve steeds gelijk is aan Ve, moeten de andere termen bij elkaar opgeteld steeds gelijk zijn aan nul, anders klopt de formule niet meer. En dat kan alleen als de tweede voorwaarde opgaat.
Uit de opzet van de vergelijkingen valt verder op te maken dat een aantal van de λ groter dan nul moet zijn, namelijk λ11, λ22, λ33 en λ14. Dat zijn respectievelijk de geneigdheden om saldo aan te houden als functie van de rente op saldo, bills aan te houden als functie van de rente op bills, bonds aan te houden als functie van de rente op bonds, en banksaldo aan te houden als functie van het verwachte besteedbare inkomen.
Uit de opzet van de vergelijkingen valt ook simpel op te maken dat de overige λ dan negatief moeten zijn. Enerzijds omdat de kolommen moeten optellen tot nul. Maar ook vanwege de logica van de vergelijkingen. Neem bijvoorbeeld λ32, de geneigdheid om bonds aan te houden als functie van de rente op bills. Die moet wel negatief zijn, want anders zou een stijgende rente op bills een hogere geneigd tot het aanhouden van bonds betekenen.
Nog meer beperkende voorwaarden
Naast de hiervoor genoemde beperkingen zijn er nog twee wat lastiger te begrijpen beperkingen waaraan de waarden van de geneigdheden tot het aanhouden van geld, bills en bonds moeten voldoen.
Één van die beperkingen is dat in de 3 x 3 matrix de rijen ook moeten optellen tot nul: λ11 + λ12 + λ13 = 0, λ21 + λ22 + λ23 = 0 en λ31 + λ32 + λ33 = 0. Deze beperking kan het beste worden uitgelegd aan de hand van een voorbeeld.
Stel je voor dat de rente op bills met 1% stijgt en dat de rente op banksaldo en bonds gelijk blijft. Dat betekent dat het bezit aan bills toeneemt met λ12 * 0,01 * Ve. Deze toename moet hetzelfde als in de in relatieve zin identieke situatie dat zowel de rente op banksaldo als de rente op bonds met 1% daalt, terwijl de rente op bills gelijk blijft. In dat geval neemt het bezit aan bills toe met - λ11 * 0,01 * Ve - λ13 * 0,01* Ve. Er moet dus gelden dat:
λ12 * 0,01 * Ve = - λ11 * 0,01 * Ve - λ13 * 0,01* Ve
λ12 * 0,01 * Ve + λ11 * 0,01 * Ve + λ13 * 0,01* Ve = 0
λ12 + λ11 + λ13 = 0
De andere beperking is die van de diagonale gelijkheid. Dat wil zeggen dat moet gelden dat λij = λji voor alle i ≠ j. In dit geval zijn er daar drie van: λ12 = λ21, λ13 = λ31 en λ23 = λ32. Ook deze beperking kan het beste worden uitgelegd aan de hand van een voorbeeld, in dit geval voor λ23 = λ32.
De eerste, λ23, staat voor de geneigdheid om bills te kopen als functie van de rente op bonds, de tweede, λ32, staat voor de geneigdheid om bonds te kopen als functie van de rente op bills. De redenering is vervolgens dezelfde als hiervoor. Een stijging van 1% van de rente op bonds ten opzichte van de rente op bills moet leiden tot hetzelfde effect als een daling van 1% van de rente op bills ten opzichte van de rente op bonds.
Al met al is er sprake van de volgende beperkingen:
Nu is het zo dat voor de 3x3 matrix (kolom 2, 3 en 4) de diagonale gelijkheid in combinatie met de verticale optellingen tot nul automatisch leidt tot de aangegeven horizontale optellingen tot nul. Het is daarom voldoende om de verticale en de diagonale beperkingen mee te nemen in de verdere uitwerking van het LP model.
Rekenen met het LP model
Net als voor SIM, PC en de varianten daarop kan voor het LP model de steady state situatie worden berekend. Dat is de situatie van dynamisch evenwicht waarin de flows van en naar de verschillende stocks met elkaar in evenwicht zijn. Die flows leiden dan dus niet langer tot een verandering van de stocks, vandaar de term dynamisch evenwicht.
Voor het LP model wordt er een situatie van dynamisch evenwicht bereikt als de netto uitgaven van de overheid gelijk zijn geworden aan haar inkomsten uit belastingen:
G + rB* Bh* + BLs* = T = Θ * ( Y* + rB * Bh* + BLh* )
De toevoegingen * staan in deze vergelijking voor die situatie van dynamisch evenwicht. De vergelijking kan worden herschreven tot:
Y* = (G + rB* Bh* + BLs* ) * ( 1 – Θ ) / Θ = GNT / Θ
In deze vergelijking is de term (G + rB* Bh* + BLs* ) * ( 1 – Θ ) gelijk aan de netto uitgaven van de overheid na aftrek van belastinginkomsten, ook wel aangeduid als GNT.
Voorbeeld: een onverwachte verhoging van de rente op bills en bonds
Door G&L is niet aangegeven welke waarden er in dit en andere voorbeelden in hun boek zijn gebruikt voor de exogene variabelen. Door Marc Lavoie is daarvoor verwezen naar de website van Gennaro Zezza, waarin alle modellen uit Monetary economics zijn uitgewerkt in Eviews code. Voor de waarde van die exogene variabelen, zie deze website.
In dit voorbeeld wordt in periode 25 onverwacht een renteverhoging door de centrale bank doorgevoerd, waarbij de rente op bills van 3% naar 4% en de rente op bonds van 5% naar 6,66% wordt verhoogd. In de figuur hierna zijn een aantal grafiekjes van de effecten van die verlaging getoond.
NB. Het is belangrijk om je te realiseren dat, anders dan voor bills, een verhoging van de rente op bonds betekent dat de overheid (centrale bank + schatkist) de koers van die bonds omlaag moet brengen. Dat kan alleen maar door het aanbod van bonds voldoende te verhogen om de voor die renteverhoging vereiste prijsdaling te kunnen bewerkstelligen. Of anders gezegd, door te voldoen aan de bij die lagere koers en dus hogere rente gestegen vraag van huishoudens naar bonds.
In de grafiek linksboven is te zien dat de rentesprong leidt tot een forse initiële daling van het vermogen, als gevolg van de daling van de waarde van de bonds (die immers gelijk is aan 1/rBL). Omdat de consumptie gekoppeld is aan de omvang van het vermogen, leidt die daling tevens tot een daling van de consumptie, wat weer leidt tot een daling van de omvang van de economie en dus van het besteedbare inkomen, wat rechtsboven is weergegeven.
Wat je vervolgens ziet gebeuren is dat het vermogen, de consumptie en het besteedbare inkomen zich herstellen tot een hoger niveau dan voor de rentestijging. Dat herstel wordt veroorzaakt door de gestegen inkomsten van de huishoudens uit rente en de daarmee samenhangende hogere totale overheidsuitgaven.
Dit gegeven dat de omvang van de economie in respons op een rentestijging per saldo stijgt, kan eenvoudig worden afgeleid uit de hiervoor gegeven steady state vergelijking. Ze wordt in de regel over het hoofd gezien door mainstream economen, die uitgaan van een blijvende daling van de omvang van de economie in reactie op een renteverhoging.
In het volgende artikel ga ik verder met LP2, een variant op het LP model waarin de overheid de prijs van de bonds, en daarmee de rente op die bonds, niet vastpint maar binnen een zekere bandbreedte probeert te houden.
© Anton van de Haar - juni 2013