In de artikelen Het G&L GROWTH model I en II is ingegaan op de opzet, de transactiestroom matrix en de balans van het GROWT model, en zijn de vergelijkingen voor de bedrijven, de huishoudens, de overheid en de centrale bank gegeven. In dit artikel maak ik het model af met de vergelijkingen voor de banken.
De banken
Ms = Mh (87)
Het aanbod van kredietgeld
(banksaldo), Ms, is steeds
gelijk aan de vraag naar kredietgeld, Mh.
Dit betekent dat de banken op verzoek van hun klanten (huishoudens, bedrijven
en de overheid) banksaldo creëren en vernietigen. Dat doen ze bij het
verstrekken en aflossen van leningen en bij het verrichten van betalingen met
banksaldo.
Lfs = Lfd (88)
De omvang van de door de banken verstrekte bedrijfsleningen,
Lfs, is steeds gelijk aan
de vraag van de bedrijven naar leningen, Lfd.
Anders gezegd, als bedrijven leningen willen, dan krijgen ze die van de banken.
Lhs = Lhd (89)
De omvang van de door de banken verstrekte leningen aan
huishoudens, Lhs, is
steeds gelijk aan de vraag van de huishoudens naar leningen, Lhd. Anders gezegd, als
huishoudens leningen willen, dan krijgen ze die van de banken.
Hbd = ρ · Ms (90)
De centrale bank verplicht de banken om een hoeveelheid
reserves Hbd aan te houden
die gelijk is aan een zekere fractie ρ
van de hoeveelheid banksaldo die ze aan de huishoudens hebben verstrekt, Ms.
Bbs = Bs – Bhs
– Bcbs (91)
Het aanbod van bills aan de banken is gedefinieerd als
resultante. Ze is gelijk aan het totale aanbod van bills door de overheid minus
het aanbod van bills aan de huishoudens en aan de centrale bank.
Bbd
= ( Ms + OFb ) – ( Hbd + Lhs + Lfs – NPL ) (92)
De vraag van de banken naar bills is eveneens gedefinieerd
als resultante. Ze kan uit de balans worden afgelezen. Ze is gelijk aan het
verschil tussen hun verplichtingen, te weten het uitstaande banksaldo Ms
plus hun eigen vermogen OFb (dat immers eigendom is van de
huishoudens) en hun overige bezittingen, te weten hun bankreserves Hbd, hun leningen aan
huishoudens Lhs en de netto
waarde van hun leningen aan bedrijven, Lfs
– NPL.
In GROWTH is niet gespecificeerd dat Bbd = Bbs. Dat is ook niet nodig omdat Bbd = Bbs de
verborgen vergelijking is, die volgt uit alle andere vergelijkingen en uit het
feit dat alle rijen en kolommen van de TSM tot nul optellen.
Verschil met G&L: G&L hebben Lfs niet gecorrigeerd voor afgeschreven leningen NPL, omdat zij die als flow hebben gedefinieerd.
In GROWTH is niet gespecificeerd dat Vb = 0. Dat kan
echter worden afgeleid uit de balansvergelijking voor Vb in
combinatie met vergelijking 92:
Vb = Bbd – ( Ms
+ OFb ) + ( Hbd + Lhs + Lfs – NPL )
= ( Ms + OFb ) – ( Hbd + Lhs + Lfs – NPL ) – ( Ms + OFb ) + ( Hbd + Lhs + Lfs – NPL )
= 0
BLR = Bbd / Ms (93)
De bank liquiditeitsratio BLR is gelijk aan de bills in bezit van de banken Bbd, gedeeld door het
uitstaande banksaldo Ms.
rM = rM-1 + ζM1 ·( z1a – z2a ) + ζM2 ·( z1b – z2b) (94, 95)
z1a = 1 als BLR-1 < bot, anders 0 (96a)
z2a = 1 als BLR-1 > top, anders 0 (97a)
z1b = 1 als BLR-1 < (bot – 0,05), anders 0 (96b)
z2b = 1 als BLR-1 > ( top+ 0,05), anders 0 (97b)
Zoals aangegeven in vergelijking 92 hebben de banken geen directe invloed op de hoeveelheid bills in hun bezit, terwijl ze wel een zekere hoeveelheid bills in bezit willen hebben om hun liquiditeitsratio op peil te houden. Daarom proberen ze de hoeveelheid bills in hun bezit langs indirecte weg te verhogen, door de rente op banksaldo te verhogen, om de huishoudens ertoe aan te zetten om bills verkopen, in ruil voor banksaldo.
De banken doen dit als volgt:
- als de BLR aan het eind van de vorige periode
onder de door hen gestelde ondergrens bot
staat, dan verhogen ze de rente op banksaldo rM, en als de BLR aan het eind van de vorige periode
boven de door hen gestelde bovengrens top
staat, dan verlagen ze de rente op banksaldo rM;
- als de BLR minder dan een fractie 0,05 onder bot
of boven top staat, dan is de verhoging c.q. verlaging van rM
beperkt tot ζM1;
- als de BLR meer dan een fractie 0,05 onder bot
of boven top staat, wordt de verhoging c.q. verlaging van rM vergroot
tot ζM1 + ζM2;
- de banken herhalen dit tot de BLR weer tussen bot en top staat.
Verschil met G&L: de aanpak van G&L is identiek,
maar G&L hanteren alleen kleine rentestapjes ζM1. De nu gekozen aanpak is afkomstig van de website
van Gennaro Zezza.
rL = rM + addL (98)
De banken handhaven de rente op leningen steeds op een
niveau dat addL boven de
rente op banksaldo ligt. Die rente-opslag hebben ze nodig om verliezen op slechte
leningen op te vangen, om dividend uit te keren en om voldoende eigen vermogen
op te bouwen.
OFbLT
= NCAR · ( Lhs-1 + Lfs-1 – NPL-1 ) · ( 1 + grpr-1
+ π-1) (99)
De banken zijn verplicht een zeker eigen vermogen (in
bankjargon: kapitaal) aan te houden ten opzichte van hun risico-gewogen
bezittingen. In die risico-weging tellen de bills en reserves in bezit van de
banken niet mee, omdat deze door de overheid zijn verstrekt en daardoor een risico-weging
nul krijgen. Daardoor bestaan de risico-gewogen bezittingen van de banken
alleen uit de uitstaande (niet-afgeschreven) leningen Lhs-1 + Lfs-1 – NPL-1
Om te kunnen voldoen aan die vermogensverplichting, streven de
banken naar een lange termijn eigen vermogen doel OFbLT, dat een factor NCAR van de risico-gewogen waarde van hun bezittingen in de vorige
periode Lhs-1 + Lfs-1
– NPL-1 bedraagt, vermenigvuldigd met de groei van die bezittingen
die ze in de lopende periode verwachten, hier gelijk gesteld aan de in de
vorige periode gerelateerde reële productiviteitsgroei grpr-1 plus inflatie π-1.
De factor NCAR die
de banken nastreven ligt iets hoger dan de door de centrale bank gestelde minimale
eigen vermogen eis (niet in GROWTH opgenomen), om enige marge aan te houden om zodoende
steeds aan die eis te kunnen voldoen.
Verschil met G&L: G&L corrigeren de hoeveelheid
uitstaande bedrijfsleningen niet voor afgeschreven leningen NPL, omdat ze deze als een flow hebben
gedefinieerd. En ze corrigeren het lange termijn eigen vermogen doel OFbLT niet voor de
verwachte economische groei, iets dat ze in vergelijkingen voor de verwachtingen
van de bedrijven en de huishoudens echter wél doen. Vandaar dat dit hier is
toegevoegd.
OFbST = OFb-1
+ β · ( OFbLT – OFb-1 ) (100)
De banken proberen niet om het verschil tussen hun
feitelijke vermogen en hun lange termijn eigen vermogen doel OFbLT in één
periode te corrigeren. Ze doen dat stapsgewijs, door elke periode een fractie β van het verschil tussen hun eigen
vermogen aan het eind van de vorige periode OFb-1
en hun lange termijn eigen vermogen doel OFbLT
te overbruggen. Daartoe stellen ze een korte termijn eigen vermogen doel OFbST vast.
FUbT
= OFbST – OFb-1 + fnple · Lfs-1 (101)
Om steeds hun korte termijn eigen vermogen doel OFbST te kunnen
bereiken en tegelijkertijd de in de lopende periode verwachte verliezen op
slechte leningen fnple · Lfs-1
op te kunnen vangen, moeten de banken in elke periode een zekere
hoeveelheid winst FUbT
vasthouden.
fnple = fnple-1
+ εb · ( fnpl-1
– fnple-1 ) (102)
De banken schatten hun verwachte fractie slechte leningen fnple ergens in de range
tussen de feitelijke en de verwachte fractie slechte leningen in de vorige
periode, fnpl-1 en fnple-1.
FDb
= λb · OFb-1 (103)
Verondersteld is dat de banken een bedrag aan dividend
uitkeren dat gelijk is aan een fractie λb
van hun eigen vermogen (eigendom van de huishoudens) aan het eind van de vorige
periode, OFb-1.
Verschil met G&L: G&L gaan er om niet nader
gespecificeerde redenen van uit dat de banken een dividend uitkeren dat gelijk
is aan een zekere fractie van de omvang van de nominale economische productie
in de vorige periode, FDb = λb
· Y-1.
FbT = FDb
+ FUbT (104)
De banken stellen een winstdoel vast dat gelijk is aan het
bedrag aan dividend FDb dat
ze gaan uitkeren plus de vastgehouden winst FUbT
die ze nodig hebben om hun korte termijn eigen vermogen doel OFbST te kunnen
bereiken en tevens de in de lopende
periode verwachte verliezen op slechte leningen fnple · Lfs-1 te kunnen compenseren.
Fb = rL-1 · (
Lfs-1 + Lhs-1 – NPL ) + rB-1 · Bbd-1
– rM-1 · Ms-1 (105)
De feitelijke winst die de banken aan het eind van de
lopende periode zullen hebben gemaakt is gelijk aan de feitelijk ontvangen rente
op leningen rL-1 · ( Lfs-1 + Lhs-1 – NPL ) plus
de rente op bills rB-1 · Bbd-1 die ze zullen hebben
ontvangen, minus de rente op banksaldo rM-1
· Ms-1 die ze zullen hebben betaald.
In vergelijking 106 van G&L is een fout geslopen die
consequenties heeft voor het model. G&L stellen dat addL
gevonden kan worden door de doelwinst FbT gelijk te
stellen aan Fb en daarbij rL te vervangen voor rM + addL (vergelijking
98):
FbT = Fb
= rL-1 · ( Lfs-1 + Lhs-1 – NPL ) + rB-1
· Bbd-1 – rM-1 · Ms-1
= ( rM-1 + addL ) · ( Lfs-1 + Lhs-1 – NPL ) + rB-1 · Bbd-1 – rM-1 · Ms-1
De fout in deze vergelijking is dat door G&L abusievelijk
de term ( rM-1 + addL
) wordt gebruikt, in plaats van de correcte term ( rM-1 + addL-1 ), aangezien vergelijking 98 rL = rM + addL
impliceert dat rL-1 = rM-1
+ addL-1. Oplossen voor addL-1
levert:
FbT = ( rM-1
+ addL-1 ) · ( Lfs-1 + Lhs-1 – NPL ) + rB-1
· Bbd-1 – rM-1 · Ms-1
FbT – rB-1 · Bbd-1 + rM-1 · Ms-1 = ( rM-1 + addL-1 ) · ( Lfs-1 + Lhs-1 – NPL )
rM-1 + addL-1 = ( FbT – rB-1 · Bbd-1 + rM-1 · Ms-1 ) / ( Lfs-1 + Lhs-1 – NPL )
addL-1 = ( FbT
– rB-1 · Bbd-1 + rM-1 · Ms-1 ) / (
Lfs-1 + Lhs-1 – NPL ) – rM-1
En dus:
addL = ( FbT+1
– rB · Bbd + rM · Ms ) / ( Lfs
+ Lhs – NPL +1 ) – rM
De waarde van de variabelen Lfs, Lhs, Bbd, Ms, rB, rM en FbT+1 is
pas bekend aan het eind van de lopende periode, en de waarde van NPL+1 is pas bekend aan het
eind van de volgende periode. Dit betekent dat, om addL te kunnen bepalen, de banken aannames zullen moeten
doen over de waarde van Lfs, Lhs,
Bbd, Ms, FbT+1
, NPL+1 , rB en
rM.
Een voor de hand liggende benadering, aansluitend bij de
voorgaande verwachtingsfuncies, is om te veronderstellen dat de variabelen Lfs, Lhs, Bbd,
Ms, FbT
groeien in een tempo 1 + grpr-1
+ π-1 en dat de rente op
bills en banksaldo onveranderd blijft. Dat levert de volgende verwachtingsvergelijkingen
op:
Lfse = Lfs-1 · ( 1 + grpr-1 + π-1) (106a)
Lhse = Lhs-1 · ( 1 + grpr-1 + π-1) (106b)
Bbde = Bbd-1 · ( 1 + grpr-1 + π-1) (106c)
Mse = Ms-1 · ( 1 + grpr-1 + π-1) (106d)
FbTe+1= FbT · ( 1 + grpr-1 + π-1) (106e)
rBe = rB-1 (106f)
rMe = rM-1 (106g)
Voor NPLe+1
kunnen, in lijn met vergelijkingen
101 en 102, de volgende vergelijkingen worden gebruikt:
NPLe+1 = NPL-1 + Lfs-1
· fnple + Lfse · fnple+1 (106h)
fnple+1 = fnple (106i)
Zodoende wordt de nieuwe vergelijking voor 106:
addL = ( FbTe+1 – rBe · Bbde + rMe · Mse ) / ( Lfse + Lhse – NPLe +1 ) – rMe (106j)
FUb = Fb – FDb (107)
De uiteindelijk vastgehouden winst FUb is gelijk aan de feitelijke winst Fb minus het uitgekeerde
dividend FDb.
OFb = OFb-1 +
FUb – ΔNPL (108)
Het eigen vermogen van de banken aan het eind van de lopende
periode OFb is gelijk aan
hun eigen vermogen aan het eind van de vorige periode plus hun vastgehouden
winst FUb en minus de
omvang van de in de betreffende periode afgeschreven leningen ΔNPL.
CAR = OFb / ( Lhs + Lfs
- NPL) (109)
G&L definiëren tot slot de kapitaalratio CAR, de
feitelijke verhouding tussen het eigen vermogen van de banken en de omvang van
hun risico-gewogen bezittingen, Lhs
+ Lfs – NPL.
Verschil met G&L: G&L hebben in hun vergelijking NPL
niet meegenomen, omdat ze NPL definiëren als een flow.
Het complete, aangepaste model GROWTH
De zo aangepaste vergelijkingen van het GROWTH model, in totaal 120 stuks, zijn hieronder getoond. De exogene variabelen zijn rood aangegeven, de afgeleid exogene variabelen oranje.
Vergelijkingen bedrijven
y = se + inST
– in-1 (1)
se = ( se-1 + β · ( s-1 – se-1 ) ) · ( 1 + grpr-1 ) (2)
inLT = σLT· se (3)
inST = ( in-1 + γ · ( inLT-1 – in-1 ) ) · ( 1 + grpr-1 ) (4)
in = in-1 + y - s (5)
k = k-1 · (1 + grk ) (6)
grk = γ0 + γu · u-1 – γr · rrL-1 (7)
u = γ / k (8)
rrL = ( 1 + rL ) / ( 1 + π ) – 1 (9)
π = ( p – p-1 ) / p-1 (10)
i = ( grk + δ ) · k-1 (11)
s = c + g + i (12)
S = s · p (13)
IN = in · UC (14)
I = i · p (15)
K = k · p (16)
Y = s · p + Δin · UC (17)
ωT = (Ω0–1)·pr + EXP(LN(pr)+Ω2·Ω0·LN(ER+z3·(1-ER)-z4·BandT+z5·BandB)) (18)
ER = N-1 / Nfe-1 (19)
z3 = 1 als 1 – bandB ≤ ER ≤ 1 + bandT, anders z3 = 0 (20)
z4 = 1 als ER > 1 + bandT, anders z4 = 0
z5 = 1 als ER < 1 – bandB, anders z5 = 0
W = W-1 + Ω3 · ( ωT-1 · p-1 – W-1 ) · ( 1 + grpr-1 + π-1 ) (21)
pr = pr-1 · ( 1 + grpr ) (22)
NT = y / pr (23)
N = N-1 + η · ( NT – N-1 ) (24)
WB = N · W (25)
UC = WB / y (26)
NUC = W / pr (27)
NHUC = ( 1 – σLT ) · NUC + ( 1 + rL-1 ) · σLT · NUC-1 (28)
p = ( 1 + ϕST ) · NHUC (29)
ϕ’-1 = Ff-1 / ( S-1 - Ff-1 ) (30-1)
ϕST = ϕ’-1 + ε · ( ϕLT – ϕ’-1 ) (30-2)
ϕLT = FfT / HCe (31)
HCe = ( 1 – σse ) · se · UC + σse · se · ( 1 + rL-1 ) · UC-1 (32)
σse = in-1 / se (33)
FfT = FUfT + FDf + rL-1 · ( Lfd-1 – IN-1 – NPL ) (34)
FUfT = ψU · I-1 (35)
FDf = ψD · Ff-1 (36)
Ff = S + ΔIN – WB – rL-1 · IN-1 (37)
FUf = Ff – FDf – rL-1 · ( Lfd-1 – IN-1 - NPL ) (38)
Lfd = Lfd-1 + I + ΔIN – FUf – ΔEs · pE (39)
NPL = NPL-1 + fnpl · Lfd-1 (40)
Es = Es-1 + ( 1 – ψU ) · I-1 / pE (41)
rK = FDf / (Es-1 · pE-1 ) (42)
PE = pE-1 · Es-1 / Ff-1 (43)
q = ( Es · pE + Lfd ) / ( K + IN ) (44)
Vergelijkingen huishoudens
YP = WB + FDf + FDb + rM-1 · Mh-1 + rB-1 · Bhd-1 + BLd-1 (45)
T = Θ · YP (46)
YDr = YP – T – rL-1 · Lhd-1 (47)
YDHS = YDr + CG (48)
CG = ΔpBL · BLd-1 + ΔpE · Ed-1 + ΔOF (49)
Vh = Vh-1 + YDHS – C (50)
vh = Vh / p (51)
C = c · p (52)
c = α1 · ydre + α2 · vh-1 + nnl (53)
ydre = ( ydr e-1 + ε · (ydr-1 – ydr e-1 ) ) · ( 1 + grpr-1 ) (54)
ydr = YDr / p – π · Vh-1 / p (55)
GNL = ( η0 – ηr · rrL ) · YDr (56+57)
NNL = GNL – REP (58)
REP = δREP · Lhd-1 (59)
Lhd = Lhd-1 + NNL (60)
nnl = NNL / p (61)
BUR = ( REP + rL-1 · Lhd-1 ) / YDr (62)
Vfma = Vh + Lhd – Hhd – OFb (67)
Bhd = Vfma-1 · ( λ20 + λ21 · rM-1 + λ22 · rB-1 + λ23 · rBL-1 + λ24 · rK-1 ) + λ25 · YDr-1
(64)
BLd = ( Vfma-1 · ( λ30 + λ31 · rM-1 + λ32 · rB-1 + λ33 · rBL-1 + λ34 · rK-1 ) + λ35 · YDr-1 ) / pBL (65)
pE = ( Vfma-1 · ( λ40 + λ41 · rM-1 + λ42 · rB-1 + λ43 · rBL-1 + λ44 · rK-1 ) + λ45 · YDr-1 ) / Ed (66)
Mh = Vfma – Bhd – pBL · BLd – pE · Ed (68)
Hhd = λC · C (69)
Ed = Es (70)
Vergelijkingen overheid
G = p · g (71)
g = g-1 · ( 1 + grg) (72)
PSBR = ( G + rB-1 · Bs-1 + BLs-1 ) – ( T + Fcb ) (73)
Bs = Bs-1 + PSBR – ΔBLs · pBL (74)
GD = Bs + pBL · BLs (75)
Vergelijingen centrale bank
Fcb = rB-1 · Bcbd-1 (76)
BLs = BLd (77)
Bhs = Bhd (78)
Hhs = Hhd (79)
Hbs = Hbd (80)
Hs = Hbs + Hhs (81)
Bcbd = Hs (82)
Bcbs = Bcbd (83)
rB = ṝB (84)
rBL = rB + addBL (85)
pBL = 1 / rBL (86)
Vergelijkingen banken
Ms = Mh (87)
Lfs = Lfd (88)
Lhs = Lhd (89)
Hbd = ρ · Ms (90)
Bbs = Bs – Bhs – Bcbs (91)
Bbd = ( Ms + OFb ) – ( Hbd + Lhs + Lfs – NPL ) (92)
BLR = Bbd / Ms (93)
rM = rM-1 + ζM1 ·( z1a – z2a ) + ζM2 ·( z1b – z2b) (94, 95)
z1a = 1 als BLR-1 < bot, anders 0 (96a)
z2a = 1 als BLR-1 > top, anders 0 (97a)
z1b = 1 als BLR-1 < (bot – 0,05), anders 0 (96b)
z2b = 1 als BLR-1 > ( top+ 0,05), anders 0 (97b)
rL = rM + addL 1 (98)
OFbLT = NCAR · ( Lhs-1 + Lfs-1 – NPL-1 ) · ( 1 + grpr-1 + π-1) (99)
OFbST = OFb-1 + β · ( OFbLT – OFb-1 ) (100)
FUbT = OFbST – OFb-1 + fnple · Lfs-1 (101)
fnple = fnple-1 + εb · ( fnpl-1 – fnple-1 ) (102)
FDb = λb · OFb-1 (103)
FbT = FDb + FUbT (104)
Fb = rL-1 · ( Lfs-1 + Lhs-1 – NPL ) + rB-1 · Bbd-1 – rM-1 · Ms-1 (105)
Lfse = Lfs-1 · ( 1 + grpr-1 + π-1) (106a)
Lhse = Lhs-1 · ( 1 + grpr-1 + π-1) (106b)
Bbde = Bbd-1 · ( 1 + grpr-1 + π-1) (106c)
Mse = Ms-1 · ( 1 + grpr-1 + π-1) (106d)
FbTe+1= FbT · ( 1 + grpr-1 + π-1) (106e)
rBe = rB-1 (106f)
rMe = rM-1 (106g)
NPLe+1 = NPL-1 + Lfs-1 · fnple + Lfse · fnple+1 (106h)
fnple+1 = fnple (106i)
addL = ( FbTe+1 – rBe · Bbde + rMe · Mse ) / ( Lfse + Lhse – NPLe +1 ) – rMe (106j)
FUb = Fb – FDb (107)
OFb = OFb-1 + FUb – ΔNPL (108)
CAR = OFb / ( Lhs + Lfs - NPL) (109)
Het complete GROWTH model in Vensim is getoond in de volgende figuur. Je kunt de figuur in detail bekijken door erop te klikken. De endogene somvariabelen zijn lichtpaars en donkerpaars gekleurd, de overige endogene variabelen groen, de exogene variabelen rood en oranje, en de hulpvariabelen blauw. Zoals je ziet is het model zo ingewikkeld geworden dat het schema nauwelijks nog leesbaar is.
In het volgende artikel ga ik verder met de beschrijving van de eigenschappen van het model.
© Anton van de Haar – november 2014