In het vorige artikel is ingegaan op de opzet van het PC model van Godley & Lavoie. In dit artikel wordt dat model uitgewerkt tot een Vensim model, zijn er een aantal berekeningen mee gemaakt en wordt gekeken naar dynamisch evenwicht in het PC model.
Het PC model in Vensim
In de volgende figuur is een uitwerking van het PC model in Vensim getoond.
Ten opzichte van het schema in het vorige artikel is opnieuw een hulpaviabele toegevoegd, net als in SIM en SIMEX ws gedaan: YD". Dat is gedaan om te voorkomen dat er “kortsluiting” in een kringloop van gelijktijdige flow vergelijkingen ontstaan. De toevoeging ervan heeft geen noemenswaardig effect op het model.
Rekenen met het PC model
Om in dit stadium een indruk te geven van wat het PC model aan grafieken genereert zijn twee berekeningen uitgevoerd met het model. In de eerste berekening zijn alle exogene variabelen in het model constant gehouden. In de tweede berekening verlaagt de centrale bank in periode 50 de rente ineens van 5% naar 2½%.
Constante exogene variabelen
Navolgend is het PC model doorgerekend op basis van de volgende waarden van de exogene variabelen:
- overheidsuitgaven (G): 20 dollar
- rente (r): 0,05
- belastingniveau (Θ): 0,2
- geneigdheid tot het consumeren van het besteedbare inkomen (α1): 0,6
- geneigdheid tot het consumeren van het vermogen (α2): 0,4
- algemene geneigdheid tot het aanhouden van bills (λ0): 0,635
- rente afhankelijke geneigdheid tot het aanhouden van bills (λ1): 5
- geneigdheid tot het aanhouden van spaargeld (λ2): 0,01
NB. De waarden voor G, Θ, α1 en α2 zijn gelijk aan wat in de eerdere artikelen voor SIM is gebruikt. Voor wat betreft de waarden van λ0, λ1 en λ2 geven G&L in hun boek geen waarden. Marc Lavoie verwees desgevraagd naar de website van Gennaro Zezza, waarin voor LP en de andere modellen de waarden zijn aangegeven waar G&L voor het verkrijgen van hun grafieken hebben gerekend.
Uit de grafieken blijkt dat de variabelen, net als in SIM, naar een dynamisch evenwicht bewegen, zij het dat het wat trager gaat dan in SIM.
De waarden die productie en consumptie bereiken zijn iets hoger dan wat in SIM wordt bereikt. Dat komt doordat het inkomen van de huishoudens nu iets hoger is, vanwege de op de bills ontvangen rente. Om dezelfde reden bereiken de belastinginkomsten nu een iets hoger niveau, omdat de overheid daarmee nu zowel haar eigen consumptie als de uitgaven aan rente aan de huishoudens moeten dekken.
Halvering renteniveau door de centrale bank
In de volgende figuren is het PC model doorgerekend op basis van de hiervoor gegeven waarden van de exogene variabelen, met dien verstande dat in periode 50 de rente ineens door de centrale bank verlaagd wordt, van 5% naar 2½%.
Wat je ziet is dat de verlaging van de rente leidt tot een plotselinge verandering van de verdeling van de bills over de huishoudens en de centrale bank. Dat komt doordat de huishoudens die bills in reactie op de renteverlaging verkopen aan de centrale bank.
Daardoor dalen de inkomsten van de huishoudens uit rente op bills, met als gevolg een lichte daling van hun uitgaven aan consumptie, van de totale productie, van de resulterende belastinginkomsten van de overheid en van de staatsschuld.
Wijzigingen in de andere exogene variabelen die te maken hebben met portfolio keuze, dat wil zeggen met λ0, λ1 en λ2 leiden tot vergelijkbare (grote) veranderingen in de verdelingen over geld en bills en (kleine) veranderingen in de consumptie, de productie, de inkomsten uit belastingen en de staatsschuld.
Dynamisch evenwicht in het PC model
Uit het tweede voorbeeld blijkt dat als de centrale bank het renteniveau verlaagt, dat dan de omvang van de economie eveneens daalt. Dit opmerkelijke resultaat volgt uit het feit dat een verlaging van de rente leidt tot dalende rente inkomsten van de huishoudens, die in reactie daarop hun consumptie verlagen. Hoe ziet dat er in formulevorm uit?
Net als in het SIM model geldt ook hier dat er een situatie van dynamisch evenwicht wordt bereikt als de flows van en naar de stocks in het model in evenwicht zijn gekomen.
Productie in een situatie van dynamisch evenwicht
Voor wat betreft de stock staatsschuld is dit het geval als de overheidsinkomsten uit belastingen T en uit rente ontvangen van de centrale bank gelijk zijn geworden aan de overheidsuitgaven G plus de rente die wordt betaald aan de huishoudens:
T* + r−1 * B*cb = G + r−1 * B*s
De *-tekens in de vergelijking zijn bedoeld om aan te geven dat de vergelijking alleen opgaat als waarden van variabelen worden gebruikt die corresponderen met een situatie van dynamisch evenwicht.
In het PC model zijn onder meer de volgende vergelijkingen opgenomen:
T = Θ * ( Y + r-1 * Bh-1 ) (3)
Bcb = Bs − Bh (10)
Ervan uitgaande dat r constant is (dan geldt r-1 = r) en gelet op het feit dat in een situatie van dynamisch evenwicht moet gelden dat Bh-1 = Bh volgt dat eerstgenoemde vergelijking als volgt kan worden aangepast:
Θ * ( Y* + r * B*h ) + r * B*cb = G + r * B*s
Θ * ( Y* + r * B*h ) = G + r * B*s - r * B*cb
Θ * ( Y* + r * B*h ) = G + r * B*h
Die laatste vergelijking kan verder worden herschreven tot:
Y* + r * B*h = ( G + r * B*h ) / Θ
Y* = ( G + r * B*h ) / Θ – r * B*h
Y* = ( G + r * B*h ) / Θ – Θ * r * B*h / Θ
Y* = ( G + ( 1 – Θ ) * r * B*h ) / Θ
NB. Uit deze laatste formule volgt dat als r afneemt, dat Y* dan eveneens afneemt. De oorzaak hiervan, zoals uit de vergelijking voor C* hierna zal blijken, zijn de hogere consumptieve uitgaven als gevolg van de rente inkomsten. Het effect hiervan wordt sterker naarmate Θ lager is.
De voorgaande vergelijking kan ook worden opgeschreven als:
Y* = GNT / Θ met GNT = G + r * B*h * ( 1 – Θ )
GNT staat hierin dus voor de totale overheidsuitgaven, exclusief belasting op rente (NT: net of taxes). De laatste vergelijking geeft de fiscale houding (fiscal stance) van de overheid in het PC model weer.
Consumptie in een situatie van dynamisch evenwicht
Op precies dezelfde wijze als voor de stock staatsschuld, geldt ook voor de stock vermogen dat er een dynamisch evenwicht wordt bereikt als de flows van en naar deze stock in evenwicht zijn gekomen. In het PC model is hiervoor opgenomen:
V = V−1 + YD − C (4)
Deze vergelijking kan worden herschreven tot:
ΔV = YD − C
Zodat in een situatie van dynamisch evenwicht waarin ΔV = 0 moet gelden dat:
C* = YD*
In het PC model is voor YD de volgende vergelijking opgenomen:
YD = Y – T + r-1 * Bh-1 (2)
Zodat in een situatie van dynamisch evenwicht moet gelden dat:
C* = Y* + r-1 * B*h – T*
In het PC model is voor T opgenomen dat:
T = Θ * ( Y + r-1 * Bh-1 ) (3)
Opnieuw ervan uitgaande dat r constant is (dan geldt r = r-1) en gelet op het feit dat in een situatie van dynamisch evenwicht moet gelden dat Bh = Bh-1 volgt dat:
C* = Y* + r * B*h – Θ * ( Y* + r * B*h )
C* = Y* – Θ * Y* + r * B*h – Θ * r * B*h
C* = ( 1 – Θ ) * Y* + (1 – Θ ) * r * B*h
C* = ( 1 – Θ ) * ( Y* + r * B*h )
Door in deze laatste vergelijking Y* te vervangen door ( G + ( 1 – Θ ) * r * B*h ) / Θ (zie hiervoor) volgt dat:
C* = ( 1 – Θ ) * ( ( G + ( 1 – Θ ) * r * B*h ) / Θ + r * B*h )
C* = ( 1 – Θ ) * ( ( G + r * B*h ) / Θ – r * B*h + r * B*h )
C* = ( G + r * B*h ) * ( 1 – Θ ) / Θ
Wegwerken van de term B*h
In de voorgaande vergelijkingen voor Y* en C* is nog sprake van de endogeen bepaalde variabele B*h. Het is mogelijk om deze variabele weg te werken. Dat vergt wel het nodige gepuzzel en leidt tot lange formules:
Hiervoor zagen we dat de ontwikkeling van het vermogen gelijk is aan het besteedbare inkomen minus de consumptie:
ΔV = YD − C
Verder luidt vergelijkingen 5 in het PC model voor de consumptie:
C = α1 * YD + α2 * V−1 (5)
Combinatie van die twee leidt tot:
ΔV = YD − α1 * YD - α2 * V−1
ΔV = (1 − α1 ) * YD - α2 * V−1
Als je vervolgens definieert: α3 = ( 1- α1 ) / α2 dan kun je de vorige vergelijking herschrijven:
ΔV = α2 * ( α3 * YD − * V−1 )
Verder weten we dat in een situatie van dynamisch evenwicht geldt dat ΔV* = 0 en dat V*-1 = V*, zodat:
V* = α3 * YD*
α3 = V* / YD*
Daarnaast luidt vergelijking 7 van het PC model voor het bezit van bills door de huishoudens:
Bh / V = λ0 + λ1 * r - λ2 * ( YD / V ) (7)
Deze vergelijking kan, uitgaande van een situatie van dynamisch evenwicht, met de voorgaande vergelijking V* = α3 * YD* worden gecombineerd tot:
B*h = V* * ( λ0 + λ1 * r – λ2 * (YD* / V* ) )
B*h = V* * λ0 + V* * λ1 * r – λ2 * YD*
B*h = α3 * YD* * λ0 + α3 * YD* * λ1 * r – λ2 * YD*
B*h = ( ( λ0 + λ1 * r ) * α3 – λ2 ) * YD*
Even terug naar de hiervoor afgeleide vergelijking voor consumptie in een situatie van dynamisch evenwicht C*:
C* = ( G + r * B*h ) * ( 1 – Θ ) / Θ
Vervanging van B*h in deze vergelijking door de voorgaande vergelijking levert:
C* = ( G + r * ( ( λ0 + * λ1 * r ) * α3 – λ2 ) * YD* ) * ( 1 – Θ ) / Θ
Omdat in een staat van dynamisch evenwicht geldt dat C* = YD* kan de vorige vergelijking worden herschreven tot:
YD* = ( G + r * ( ( λ0 + * λ1 * r ) * α3 – λ2 ) * YD* ) * ( 1 – Θ ) / Θ
Deze vergelijking kan worden opgelost door YD* naar links te halen. Om dat op een overzichtelijke manier te kunnen doen is het handig om het volgende te definiëren:
X = r * ( α3 * ( λ0 + * λ1 * r ) - λ2 )
Z = ( 1 – Θ ) / Θ
De voorgaande vergelijking wordt dan:
YD* = ( G + X * YD* ) * Z
Nu is YD* gemakkelijker naar links te halen:
YD* = G * Z + X * YD* * Z
YD* – X * Z * YD* = G * Z
YD* * ( 1 – X * Z)= G * Z
YD* = G * Z / ( 1 – X * Z )
YD* = G / ( ( 1 – X * Z ) / Z)
YD* = G / ( 1/ Z – X )
Terug invullen van de vergelijkingen voor X en Z levert dan de gewenste vergeijking voor YD* met alleen exogene variabelen op:
YD* = C* = G / ( Θ / ( 1 – Θ ) – r * ( α3 * ( λ0 + * λ1 * r ) - λ2 ) )
En omdat voor het PC model geldt dat:
Y = C + G (1)
Volgt voor een situatie van dynamisch evenwicht dat:
Y* = G + G / ( Θ / ( 1 – Θ ) – r * ( α3 * ( λ0 + * λ1 * r ) - λ2 ) )
Voor een waarde van r gelijk aan nul komt dit neer op:
Y* = G + G / ( Θ / ( 1 – Θ )
Y* = G + G * ( 1 – Θ ) / Θ
Y* = G + G / Θ – G
Y* = G / Θ
Waarmee we, precies zoals je zou verwachten, door het wegvallen van de rente inkomsten terug zijn bij de vergelijking van Y* voor het SIM model.
NB. een opmerkelijke conclusie die uit het voorgaande kan worden getrokken voor dynamisch evenwicht situaties is dat naarmate α3 groter is, de productie en daarmee het inkomen van de huishoudens ook groter is. Dit komt doordat een kleinere neiging van huishoudens tot consumptie uit inkomen (α1) en/of uit vermogen (α2) overgecompenseerd wordt door de groei van het vermogen en de resulterende consumptie uit dat vermogen.
In het volgende artikel ga ik verder met het PC model, uitgebreid met verwachtingen, het PCEX model.
© Anton van de Haar - april 2013